Na podstawie jednowymiarowej teorii pomp można wywieźć, że charakterystyki teoretyczne pompy są liniami prostymi.
Uwzględniając fakt, że straty przepływu (także w pompie) zmieniają się z kwadratem prędkości, można założyć, że „teoretycznie” charakterystyka przepływu pompy H(Q) będzie wielomianem 2-go stopnia.
We współrzędnych H–Q moc hydrauliczna pompy jest opisana liniową charakterystyką teoretyczną, co oznacza, że we współrzędnych P–Q charakterystyka mocy jest parabolą. Uwzględniając fakt, że straty mechaniczne, w tym straty tarcia tarcz wirujących, nie zależą od wydajności, można założyć, że „teoretycznie” charakterystyka mocy pompy P(Q) będzie wielomianem 2-go stopnia.
W pompach występuje wiele zjawisk nie poddających się opisowi teorii jednowymiarowej maszyn przepływowych i stosowanie wielomianu 2-go stopnia (modelu kwadratowego) do opisu charakterystyk energetycznych pompy w całym zakresie wydajności czasem prowadzi do znacznych błędów.
Jednak w wielu praktycznych przypadkach analizę pomp i układów możemy zawęzić do okolic punktu pracy lub punktu BEP. Wówczas model kwadratowy i możliwość opisu charakterystyk w postaci funkcji jest bardzo przydatna.
Rys.1. Interpolacja charakterystyk energetycznych na podstawie trzech punktów
Funkcję przepływu i mocy pompy w postaci wielmianów 2-go stopnia przedstawiają wzory 1 i 2.
H = A_0 + A_1 \cdot Q + A_2 \cdot Q^2 (1)
P = B_0 + B_1 \cdot Q + B_2 \cdot Q^2 (2)
Q - wydajność H - wysokość podnoszenia P - moc ρ - gęstość g - przyśpieszenie ziemskie A0, A1, A2 - współczynniki równania charakterystyki przepływu B0, B1, B2 - współczynniki równania charakterystyki mocy
Sposób wyznaczania współczynników równania na podstawie trzech wybranych punktów charakterystyki przepływu przedstawiono poniżej.
Układ równań dla punktów 1, 2 i 3.
H_1 = A_0 + A_1 \cdot Q_1 + A_2 \cdot Q_1^2 (3)
H_2 = A_0 + A_1 \cdot Q_2 + A_2 \cdot Q_2^2 (4)
H_3 = A_0 + A_1 \cdot Q_3 + A_2 \cdot Q_3^2 (5)
Po odjęciu stronami równa 4 i 3 oraz 5 i 4 otrzymamy dwa niezależne równania baz współczynnika A0.
H_2 - H_1 = A_1 \cdot \left (Q_2 - Q_1 \right ) + A_2 \cdot \left ( Q_2^2 - Q_1^2 \right ) (6)
H_3 - H_2 = A_1 \cdot \left (Q_3 - Q_2 \right ) + A_2 \cdot \left ( Q_3^2 - Q_2^2 \right ) (7)
Porządkujemy równania 6 i 7 tak aby współczynnik A1 był po tej samej stronie.
A_1 \cdot \left (Q_2 - Q_1 \right ) = H_2 - H_1 - A_2 \cdot \left ( Q_2^2 - Q_1^2 \right ) (8)
A_1 \cdot \left (Q_3 - Q_2 \right ) = H_3 - H_2 - A_2 \cdot \left ( Q_3^2 - Q_2^2 \right ) (9)
Eliminujemy współczynnik A1 przez podzielenie stronami równania 8 przez 9.
{Q_2 - Q_1 \over Q_3 - Q_2} = {{H_2 - H_1 - A_2 \cdot \left ( Q_2^2 - Q_1^2 \right )} \over {H_3 - H_2 - A_2 \cdot \left ( Q_3^2 - Q_2^2 \right )}} (10)
W celu wyeliminowania ułamków mnożymy równanie 10 przez mianowniki obu stron.
\left ( H_3 - H_2 \right ) \cdot \left ( Q_2 - Q_1 \right ) - A_2 \cdot \left ( Q_3^2 - Q_2^2 \right ) \cdot \left ( Q_2 - Q_1 \right ) =
\left ( H_2 - H_1 \right ) \cdot \left ( Q_3 - Q_2 \right ) - A_2 \cdot \left ( Q_2^2 - Q_1^2 \right ) \cdot \left ( Q_3 - Q_2 \right ) (11)
Po uporządkowaniu równania 11 uzyskujemy wyrażenie na współczynnik A2 .
A_2 = {{\left ( H_2 - H_1 \right ) \cdot \left ( Q_3 - Q_2 \right ) - \left ( H_3 - H_2 \right ) \cdot \left ( Q_2 - Q_1 \right )} \over {\left ( Q_2^2 - Q_1^2 \right ) \cdot \left ( Q_3 - Q_2 \right ) - \left ( Q_3^2 - Q_2^2 \right ) \cdot \left ( Q_2 - Q_1 \right )}} (12)
Na podstawie równania 6 wyznaczamy współczynnik A1.
A_1= {{H_2 - H_1 - A_2 \cdot \left ( Q_2^2 - Q_1^2 \right )} \over Q_2 - Q_1} (13)
Współczynnik A0 wyznaczamy na podstawie równania 2.
A_0 = H_1 - A_1 \cdot Q_1 - A_2 \cdot Q_1^2 (14)
W ten sam sposób postępujemy także dla charakterystyki mocy.
Wzór na sprawność pompy ma postać:
\eta = { Q \cdot H \cdot \rho \cdot g \over P} (15)
Na podstawie równań 1, 2 i 15 równanie charakterystyki sprawności będzie miało postać:
\eta = { Q \cdot \left ( A_0 + A_1 \cdot Q + A_2 \cdot Q^2 \right ) \cdot \rho \cdot g \over B_0 + B_1 \cdot Q + B_2 \cdot Q^2} (16)
PAMIĘTAJ
- Charakterystyka przepływu i mocy są zbliżone do paraboli (krzywej 2-go stopnia)
- Do wyznaczenia współczynników równań 1 i 2 można wykorzystać także metodę aproksymacji na podstawie większej liczby punktów
- Przy wykorzystaniu metod aproksymacyjnych, funkcja (szczególnie wyższych rzędów) „ucieka” od punktów na końcach przedziałów
- Do opisu charakterystyk w całym zakresie lepiej stosować funkcje sklejane lub funkcje Beziera
WARTO SPRAWDZIĆ: