1. Siły osiowe (siły wzdłużne)
Główne siły osiowe działające na wirnik pompy pokazano na rys.1.1.
Rys.1.1. Siły osiowe działające na wirnik
Siły osiowe największe wartości osiągają w pompach wolnobieżnych nq < 50, a szczególnie w pompach wielostopniowych. Podstawowe siły działające na wirnik (zespół wirujący) opisuje wzór 1.1.
F_w=F_{wl} + F_I + F_Q - F_{II} - F_b - F_u (1.1)
Q – przepływ du – średnica uszczelnienia szyjki wirnika d2 – średnica zewnętrzna wirnika dt – średnica uszczelnienia na tłoczeniu I - strefa przed wirnikiem, między przednią tarczą a obudową II - strefa za wirnikiem, między tylną tarczą a obudową pwl – ciśnienie na wlotowe (na ssaniu) pI – ciśnienie w strefie I (przed tarczą przedni) pII – ciśnienie w strefie II (za tarczą tylną) pb – ciśnienie zewnętrzne, otoczenia (barometryczne) Fw – siła wzdłużna (osiowa) Fwl – siła od ciśnienia wlotowego FI – napór na tarczę przednią FII - napór na tarczę tylną FQ – reakcja hydrodynamiczna Fg – siła ciężkości zespołu wirującego Fu - siła sprężyny uszczelnienia mechanicznego
Z asymetrycznej budowy wirnika i rozkładu ciśnienia wokół niego wynika, że siła FI jest mniejsza od FII. Siły Fwl, Fb, FQ i Fu zwykle mają małe wartości w porównaniu do różnicy sił FII – FI. Biorąc to pod uwagę można przyjąć, że wypadkowa siła wzdłużna jest zwykle skierowana w stronę ssania pompy.
W kolejnych punktach opisano sposoby obliczania składowych siły osiowej.
2. Siła od ciśnienia wlotowego Fwl
Rys. 2.1. Siła od ciśnienia wlotowego
Jeżeli pominiemy oddziaływanie wsteczne wirnika (wiry powrotne), możemy przyjąć, że ciśnienie na wlocie pompy pwl rozkłada się równomiernie na powierzchni ograniczonej średnicą uszczelnienia szyjki wirnika. Siłę osiową Fwl spowodowaną tym ciśnieniem działającą na wirnik obliczamy ze wzoru 2.1.
F_{wl} = {\pi \over 4} \cdot d_u^2 \cdot p_{wl} (2.1)
Siła Fwl zwykle ma niewielką wartość, wyjątek stanowią siły wlotowe w pompach obiegowych.
Ciśnienie wlotowe odpowiada wartości ciśnieniu manometrycznego ssania pms opisanemu w bilansie energetycznym układu pompowego powiększonemu o wznios manometry nad oś pompy.
p_{wl} = p_{ms} + \Delta z_s \cdot \rho \cdot g (2.2)
Wysokość ciśnienia wlotowego Hwl (statyczna wysokość energii na wlocie) odpowiada wysokości ssania pompy Hs pomniejszonej o wysokość ciśnienia dynamicznego w króćcu ssawnym .
H_{wl} = H_s - {c_s^2 \over 2 \cdot g} (2.3)
Fwl - siła wlotowa pwl - ciśnienie wlotowe Hwl - wysokość ciśnienia wlotowego pms - ciśnienie manometryczne ssania pb - ciśnienie barometryczne Δzs - położenie manometru ssawnego powyżej poziomu odniesienia ρ - gęstość cieczy g - przyspieszenie ziemskie Hs - wysokość ssania cs - prędkość na wlocie
3. Rozkład ciśnienia w wirującej cieczy
Zacznijmy od doświadczenia: szklanka, woda, słomka. Wymuszamy ruch wirowy wody.
Rys.3.1. Wirowanie wody
Podczas wirowania powierzchnia swobodna wody zmienia kształt, co pokazuje film rys.3.1. W spoczynku powierzchnia wody jest plaska. Wysokość słupa wody nad dnem jest stała. Ciśnienie na dnie jest także stałe i opisane znanym ze szkoły wzorem 3.1.
p = h \cdot \rho \cdot g (3.1)
Podczas wirowania, powierzchnia wody staje się wklęsła. Środek obniża się, a boki podnoszą. Wysokość słupa wody nad dnem h zależy od promienia r i prędkości wirowania ω. Na rysunku 3.2 pokazano i opisano ciecz w spoczynku i podczas wirowania z prędkością ω.
Rys.3.2. Pierścień wirujący
H - wysokość ω - prędkość kątowa wirowania r - promień dr - przyrost promienia b - wysokość pierścienia ρ - gęstość cieczy Fo - siła odśrodkowa pwew - ciśnienie na stronie wewnętrznej pierścienia pzew - ciśnienie na stronie zewnętrznej pierścienia
Ze szkoły wiemy, że podczas wirowania na masę m działa siła odśrodkowa Fo opisana wzorem 3.2.
F_o=m \cdot \omega^2 \cdot r (3.2)
Jeżeli w wirującej cieczy wydzielimy pierścień o wysokości b i grubości dr to jego objętość dV i masę dm możemy zapisać równaniami 3.3 i 3.4.
dV = 2 \pi \cdot r \cdot dr \cdot b (3.3)
dm = \rho \cdot dV (3.4)
Na podstawie wzoru 3.2 w odniesieniu do masy dm – wzór 3.4, otrzymamy wzór na siłę odśrodkową w postaci 3.5.
dF_o = \rho \cdot dV \cdot \omega^2 \cdot r (3.5)
Podczas wirowania siła odśrodkowa dFo jest równoważona przez różnicę parcia na powierzchnię zewnętrzną i wewnętrzną pierścienia dFp, wzór 3.6.
dF_p = dF_o (3.6)
Różnica parcia na pierścień pokazany na rys 3.2 określona jest wzorem 3.7.
dF_p = F_{zew} - F_{wew} (3.7)
Siła działająca na powierzchnię (parcie) określa ogólny wzór 3.8.
F = p \cdot A (3.8)
Ciśnienie na powierzchni wewnętrznej (na promieniu r) i zewnętrznej (na promieniu r + dr) pierścienia można zapisać wzorami 3.9 i 3.10.
p_{wew} = p(r) (3.9)
p_{zew} = p(r) + {dp \over dr} \cdot dr (3.10)
Jeżeli dr << r to możemy przyjąć, że pole powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej nie różnią się istotnie i ich pola określa wzór 3.11.
A = 2 \pi \cdot r \cdot b (3.11)
dV - objętość pierścienia dm - masa pierścienia dFo - siła osiowa odniesiona do masy dm dFp - siła parcia odniesiona do masy dm r - promień p(r) - ciśnienie na promieniu r pwew - ciśnienie na stronie wewnętrznej pierścienia pzew - ciśnienie na stronie zewnętrznej pierścienia dp/dr - przyrost ciśnienia po promieniu (pochodna ciśnienia) A - pole powierzchni bocznej pierścienia
Po podstawieniu wzorów 3.9 do 3.11 do wzoru 3.8, otrzymamy wyrażenia na siłę wewnętrzną i zewnętrzną 3.12 i 3.13.
F_{wew} = p_{wew} \cdot A = p(r) \cdot 2 \pi \cdot r \cdot b (3.12)
F_{zew} = p_{zew} \cdot A = \left( p(r) + {dp \over dr} \cdot dr \right) \cdot 2 \pi \cdot r \cdot b (3.13)
Po podstawieniu wzorów 3.12 i 3.13 do 3.7 otrzymamy wyrażenie na siłę od ciśnienia 3.14.
dF_p = \left( p(r) + {dp \over dr} \cdot dr \right) \cdot 2 \pi \cdot r \cdot b - p(r) \cdot 2 \pi \cdot r \cdot b (3.14)
Po uporządkowaniu równania 3.14 z wykorzystaniem zależności 3.3 otrzymujemy prosty zapis tego równania w postaci 3.15.
dF_p = {dp \over dr} \cdot dV (3.15)
Po podstawieniu 3. 5 i 3.15 do wzoru 3.6 otrzymamy warunek równowagi w postaci 3.16.
{dp \over dr} \cdot dV = \rho \cdot \omega^2 \cdot r \cdot dV (3.16)
Po podzieleniu oby stron równania 3.16 przez dV, otrzymamy wzór na zmianę ciśnienia po promieniu (pochodną) wyrażoną wzorem 3.17.
{dp \over dr} = \rho \cdot \omega^2 \cdot r (3.17)
Ostatecznie wzór na ciśnienie w wirującej cieczy w zależności od promienia 3.18 uzyskamy przez wyliczenie całki równania 3.17.
p = \rho \cdot \omega^2 \cdot \int r \cdot dr = {\rho \cdot \omega^2 \over 2} \cdot r^2 + C (3.18)
Po podstawieniu równania 3.1 do 3.18 uzyskamy równanie 3.19 opisujące poziom wody w szklance pokazanej na filmie rys.3.1.
H = {\omega^2 \over 2 \cdot g} \cdot r^2 + C (3.19)
Na rys. 3.3 pokazano proste obliczenia poziomu wody w arkuszu kalkulacyjnym.
Rys.3.3. Powierzchnia swobodna cieczy wirującej (w szklance)
Jak widzimy równanie lustra wody w szklance a także rozkład ciśnienia w wirującej cieczy jest parabolą.
4. Napór na przednią i tylną tarczę wirnika
W pompie, między wirnikiem a obudową, ciecz wiruje w podobny sposób jak woda w szklance, patrz punkt 3.
Rys.4.1. Wirowanie cieczy między wirnikiem a obudową
Ponieważ wirnik wiruje, a obudowa stoi w miejscu, możemy przyjąć, że prędkość wirowania cieczy ω jest średnią między prędkością wirowania wirnika ωw i zerową prędkością wirowania obudowy ωo = 0.
\omega = {\omega_w - \omega_o \over 2} = {\omega_w \over 2} (4.1)
Prędkość kątową wirnika ωw obliczamy na podstawie prędkości obrotowej n z prostej zależności 4.2.
\omega_w = {n \cdot 2 \cdot \pi \over 60} (4.2)
Przyrost ciśnienia statycznego w wirniku, na podstawie równania Eulera, określa potencjalna części wysokości podnoszenia pompy Hp, wzór 4.3.
H_p = {u_2^2 - u_1^2 \over 2 \cdot g}+{w_2^2 - w_1^2 \over 2 \cdot g} (4.3)
Rys.4.2. Rozkład wysokości ciśnienia na bocznych tarczach wirmnka
Załóżmy, że w przestrzeniach I i II nie występują istotne przepływy tranzytowe (nie ma dużych przecieków przez uszczelnienie szyjki wirnika i np. przez otwory odciążające). Na tej podstawie możemy przyjąć, że na promieniu zewnętrznym wirnika r2, wysokość ciśnienia wirowania – wzór 3.19 równa jest wysokości ciśnienia statycznego Hp, wzór 4.4.
H_p = {\omega^2 \over 2 \cdot g} \cdot r_2^2 (4.4)
Wysokość ciśnienia na bocznych tarczach wirnika, od wartości Hp, maleje w kierunku wału pompy od wartości Hp zgodnie z zależnością 3.19. Po podstawieniu wzoru 4.3 do 3.19, zmieniającą się wraz z promieniem, wysokość ciśnienia w szczelinie H określa wzór 4.5.
h = H_p + {\omega^2 \over {4 \cdot 2g}} \cdot r^2 - {\omega^2 \over {4 \cdot 2g}} \cdot r_2^2 (4.5)
Jak wynika z rys. 4.2, między promieniem r2 i ru rozkład wysokości ciśnienia po obu stronach wirnika jest identyczny. Nierównowaga, generująca siłę osiową występuje między promieniami: uszczelnienia szyjki wirnika ru a promieniem uszczelnienia na tłoczeniu rt.
Niezrównoważony napór na tarcze boczne wirnika FII – FI można obliczyć ze wzoru 4.6.
F_{II}-F_{I} = \rho \cdot g \int_{r_t}^{r_u} \left ( 2 \pi \cdot r \cdot h \right ) dr (4.6)
Pogłębiona rozważania na temat rozkładu ciśnienia w strefie I i II z uwzględnieniem przepływów tranzytowych można znaleźć np. w Jędral W. Pompy wirowe.
5. Reakcja hydrodynamiczna
Na rysunku 5.1 pokazane są przekroje merydionalne a) wirnika diagonalnego i b) odśrodkowego. Przepływ cieczy przed wlotem opisuje prędkość merydionalna cm0, a przepływ na wylocie opisuje prędkość merydionalna cm2.
Rys.5.1. Zmiana prędkości merydionalnej: a – wirnik diagonalny, b – wirnik promieniowy
Na podstawie rys. 5.1, i nie tylko, łatwo stwierdzić, że wirniki pomp są osiowo symetryczne (wyjątkiem są wirniki jedno-łopatkowe i jedno-kanałowe). Dzięki symetrii osiowej wszystkie siły promieniowe (składowe promieniowe sił) wywołane przepływem cieczy, równoważą się w obrębie wirnika, zatem dalsze rozważania możemy ograniczyć do niezrównoważonych sił działających wzdłuż osi (składowe osiowe sił).
Od Isaac’a Newton’a wiemy, że siła to masa razy przyspieszenie, wzór 5.1.
F = m \cdot a (5.1)
F - siła m - masa a - przyspieszenie
Jak wynika z rys. 5.1 w czasie przepływu cieczy Δt, między wlotem a wylotem, składowa osiowa prędkości zmienia się o wartość Δcm, a więc występuje przyspieszenie, a zatem zgodnie z równaniem 5.1 występuje także siła osiowa F. Siłą tą nazywamy reakcją hydrodynamiczną i oznaczamy jako FQ.
Jeżeli masę przepływającej cieczy opiszemy jako ρ ΔV, a jej przyspieszenie jako Δcm / Δt to po podstawieniu do równania 5.1 otrzymamy wyrażenie na reakcją hydrodynamiczną w postaci 5.2.
F_Q = \rho \cdot \Delta V \cdot { \Delta c_m \over \Delta t} = \rho \cdot {\Delta V \over \Delta t} \cdot \Delta c_m (5.2)
Ostatecznie, po uwzględnieniu, że ΔV / Δt to wydajność pompy Q, równanie opisujące reakcję hydrodynamiczną przyjmuje postać 5.3.
F_Q = \rho \cdot Q \cdot \Delta c_m (5.3)
FQ - reakcja hydrodynamiczna ρ - gęstość cieczy ΔV - objętość cieczy Δt - czas Δcm - zmiana prędkości w kierunku osiowym Q - wydajność pompy (przepływ)
Reakcja hydrodynamiczna FQ ma kierunek zgodny z kierunkiem prędkości na wlocie cm0 (w stroną napędu).
6. Siła od ciśnienia otoczenia
Na wał pompy od strony napędu działa ciśnienie otoczenia po. Oddziaływanie ciśnienia otoczenia na wał ograniczone jest średnicą uszczelnienia dt.
Rys. 6.1. Siła od ciśnienia atmosferycznego
Wartość siły osiowej od ciśnienia otoczenia można obliczyć ze wzoru 6.1.
F_{b} = {\pi \over 4} \cdot d_t^2 \cdot p_{o} (6.1)
Ciśnienie otoczenia po odpowiada wartości ciśnieniu manometrycznego działającego na wał pmo, patrz wzór 6.2.
p_o = p_{mo} (6.2)
Fb - siła osiowa od ciśnienia otoczenia po - ciśnienie na zewnątrz pompy pmo - ciśnienie manometryczne otoczenia wału dt - średnica uszczelnienia po stronie tłocznej
Zwykle w pompach od strony wału panuje ciśnienie atmosferyczne. W tych przypadkach manometr na zewnątrz pompy wskazuje zero, a zatem siła od ciśnienia otoczenia będzie miała wartość zero i można ją pominąć w obliczeniach.
Wyjątek stanowią pompy zatapialne i hermetyczne.
7. Siła ciężkości zespołu wirującego
W pompach o osi pionowej, rys. 7.1, ciężar zespołu wirującego obciąża układ łożyskowy pompy. Zwykle wlot tych pomp znajduje się na dole i siła ciężkości zwiększa wypadkową siłę osiową wynikającą głównie z niezrównoważonego naporu na tarcze boczne wirnika.
Rys. 7.1. Siła ciężkości zespołu wirującego
F_{g} = m \cdot g (7.1)
Fg - siła ciężkości zespołu wirującego m - zespołu wirującego g - przyspieszenie ziemskie
8. Siła nacisku sprężyny uszczelnieni mechanicznego
W uszczelnieniach mechanicznych, do zapewnienia szczelności pompy, konieczna jest siła docisku Fu między pierścieniem ruchomym i stałym, patrz rys. 8.1.
Rys. 8.1. Siła nacisku uszczelnienia mechanicznego
W bilansie sił osiowych, szczególnie w małych pompach, konieczne jest uwzględnienie siły sprężyny lub sprężyn uszczelnienia. Siła sprężyny zależy od jej ugięcia x i sztywności k. W niektórych konstrukcjach uszczelnień należy pamiętać o wstępnym ugięciu sprężyn.
Rys. 8.2. Siła nacisku sprężyny
Siłę nacisku Fu w uszczelnieniach z jedną sprężyną można obliczyć ze wzoru 8.1, a w konstrukcjach wielosprężynowych ze wzoru 8.2.
F_{u} = k \cdot x (8.1)
F_{u} = k \cdot x \cdot n (8.2)
Fu - siła nacisku sprężyny uszczelnienia mechanicznego k - sztywność sprężyny x - przemieszczenie (ugięcie) n - liczba sprężyn w uszczelnieniu
PAMIĘTAJ
- Siła osiowa ma dużą wartość!
- Przyjęto, że ciśnienie wlotowe pwl i ciśnienie otoczenia po nie są wartościami absolutnymi, co upraszcza obliczenia.
- Przedstawiony powyżej model działania sił osiowych ma uproszczenia, w rzeczywistości jest to bardziej skomplikowane.
- Prędkość w przekroju uszczelnienia cwl może się nieco różnić od prędkości cs w króćcu.
- Założenie, że ciecz w przestrzeniach między wirnikiem i obudową wiruje z połową prędkości wirnika wystarcza do wyjaśnienia mechanizmu powstawania sił osiowych, jeżeli chcesz projektować pompę – zajrzyj do: Jędral W. Pompy wirowe.
- Jeżeli ktoś nie wieży w reakcję hydrodynamiczną FQ – proponuję wziąć do ręki wężyk od prysznica i włączyć wodę.
- Jeżeli ciśnienie wlotowe pwl to wartość względna to siła od ciśnienia otoczenie wynosi zero Fb = 0.
- Siłę od ciśnienia na pierścień ruchomy uszczelnienia można uwzględnić w naporze na tarczę tylną.
- Na wartość siły osiowej od uszczelnienia może mieć wpływ ciśnienie cieczy zaporowej.
- Współcześnie do wyznaczania naporu osiowego warto zastosować modelowanie CFD.
WARTO SPRAWDZIĆ:
- Odciążenie hydrauliczne
- Tarcza odciążająca
- Sprawność pompy